证明过程如下:
证明:令g(x)=f(a+x) 则g(-x)=f(a-x)
∵ g(x)是偶函数
∴有g(x)=g(-x)
∴f(a-x)=f(a+x)
若f(x)是偶函数f(x+a)=f(-x-a)
函数F(x+a)中,x是自变量
偶函数的本质是自变量为相反数,函数值相等
x与-x互为相反数
∴ 函数值一样
∴f(x+a)=f(-x+a)
公式:
1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都满足 f(x)=f(-x) 如y=x*x。
2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴(直线x=0)对称。
3、定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要不充分条件。
判断法:
根据奇偶函数的定义,先判断定义域是否关于原点对称,若不对称,即为非奇非偶,若对称,f(-x)=-f(x)的是奇函数; f(-x)=f(x)的是偶函数。
关于原点对称的函数是奇函数,关于Y轴对称的函数是偶函数。如果f(x)为偶函数,则f(x+a)=f[-(x+a)]。但如果f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a)。
不懂,f(a+x )是偶函数,g(y)是偶函数=f(a+x),g(-y)=g(y)=f(-a-x)
追答呵呵,自变量是x怎么又出来个y?
啥叫偶函数,自变量上添负号,不影响函数值
f(a+x )是偶函数,假设g(y)是偶函数,g(y)=f(a+x),那么f(a+x)=g(-y)=g(y)=f(-a-x)
不对吗,不对的话,那若f(x)是偶函数f(x+a)=f(-x-a),为什么a要变号?
自变量就是x,你的y从何而来,难度这里有两个自变量,要认准自变量!
只能设g(x)=f(a+x)
f(x)是偶函数,那有f(-x)=f(x),由于整个括号内只有x,所以括号内整体加负号不影响函数值
那f(x)是偶函数,f(a+x)为什么等于f(-a-x)
追答f(x)是偶函数,那有f(-x)=f(x),由于整个括号内只有x,所以括号内整体加负号不影响函数值
注意f(x),与f(x+a)是两个不同的函数
这个抽象函数的题,确实有难度,慢慢想吧,呵!会明白的!
恩,就是f(x+a)为偶函数时,就是因为函数是f(a+x),所以自变量只有x,就可以设成f(a+x)=g(x),
g(x)=g(-x)=f(a-x)=f(a+x),所以成立,
f(x)是偶函数,所以f括号里的整式看成一个成体为自变量,f(a+x)=f(-(a+x)),成立,
但是,f(x+a)为偶函数时,自变量是x,所以等式g(x)=f(a+x)=g(-x)=f(a-x)=f(a+x),对吗
呵呵,完全正确
追问恩,就是f(x+a)为偶函数时,就是因为函数是f(a+x),所以自变量只有x,就可以设成f(a+x)=g(x),
g(x)=g(-x)=f(a-x)=f(a+x),所以成立,
f(x)是偶函数,所以f括号里的整式看成一个成体为自变量,f(a+x)=f(-(a+x)),成立,
但是,f(x+a)为偶函数时,自变量是x,所以等式g(x)=f(a+x)=g(-x)=f(a-x)=f(a+x),对吗
但是我觉得f(x+a)为偶函数时,自变量是x+a,因为x动一下,x+a也会跟着动一下,不过这样说,主动变量还是x,但是x+a也有变
变量是x, x变x+a当然是变的,但a是不变的
就凭这股劲,你应该能学好数学,我的学生要都象你这样,那就好了
今天高考了,我的使命也完成了,所以才有空!
恩,希望大家都能考出好成绩(今天哥哥也高考),他有些问题还没搞的特别扎实,所以,特别帮他问,我也是高二学生,所以会一些,想搞清楚,到时打电话告诉他,但是,我想请问一下,数学题,设g(y)=f(x+a)不是囊括了x+a的变化了吗,么x改变一个单位,y也是改变一个单位:y=x1+a=(x2+1)+a,括号里不是都只改变了一个单位,没有影响,那么设y=a+x就好了?
追答那不就成了g(y)=f(y)?那g与f不就相同了
追问但是我设y=a+x的话,x改变加1,y也是加1.
追答a不变,x变1,y当然也变1,这没有错,但是,比如说,x变成相反数,你看看y呢?
本回答被提问者采纳不是呀?f(a+x )是偶函数,g(y)是偶函数=f(a+x),g(-y)=g(y)=f(-a-x)