关于函数的对称轴，有哪些重要推论？比如f(x)有f(a+x)=f(a-x)的对称轴是直线x=a之类的。

Question

如题所述

Answer 1

1、一般来说，函数关于直线x=a对称，最直接的推论就是你列出来的f(a+x)=f(a-x)。特别地，当a=0时，有f(x)=f(-x)，俗称偶函数。反过来，当f(a+x)=f(a-x)，也能知道对称轴是x=a。
推论1：若f(a+x)=f(b-x)，那么f(x)的对称轴是(a+x+b-x)/2=(a+b)/2，证明很简单，两边的x用x- (a-b)/2来代，你可以自己演算下加深印象。这个推论很有用， 比如，f(3+x)=f(2-x)，那么立刻看出对称轴为x=2.5
2、若f(x+a)是偶函数，那么请考虑一下，f(x+a)=f(-x-a)还是f(x+a)=f(-x+a)呢？有点纠结吧
先分析一下f(x+a)与f(x)图象的关系。f（x+a)的图象是f(x)往左平移a个单位得到的，它关于y轴对称，倒推回去，f(x+a)的图象往右平移a个单位就得到f(x)的图象，同样，对称轴也平移了a个单位，由y轴变成了x=a。
根据对称的定义有f(x+a)=f(-x+a)，也就是说这个时候只要变动x的符号，常数项不变就对了。
推论2：若f(x+a)是偶函数，则f(x)关于x=a对称，有f(x+a)=f(-x+a)
那么f(x-a)是偶函数呢？f(x+a)是奇函数呢？分别可以写出什么式子，留给你自己练习吧

Answer 2

f(a+x)=f(a-x)的对称轴是直线x=a

更一般的，f(a+x)=f(b-x)的对称轴是直线x=(a+b)/2

关于函数的对称轴，就只有这两个结论了。

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Answer 3

函数只有偶函数才有对称轴，若你知道导数的含义，且在函数为偶函数的时候，二阶导数为0则为对称轴。