220v与380v的关系，为什么可以转化为几何关系来描述？

Question

220v与380v的关系，为什么可以转化为几何关系来描述？

220v与380v的关系，一般的解答是：线电压与相电压的大小关系就可以转化为上图的几何关系，由于A, B, C之间相差120度，因此三角形ABN为顶角为120度的等腰三角形。根据几何关系，线段AB的长度为线段AN的1.732倍（根号3倍）。

Answer 1

在380V系统中，220V指的是相电压，380V指的是线电压。所谓“相/线电压”，看下图中的说明：

每相电源针对中性点（N）的电压，就称为“相电压”，也就是每相电源的电压，为220V，即：UAN=UBN=CN=220V。

对于A、B之间，B、C之间和C、A之间，两相电源之间的电压，称为“线电压”，为380V，即：UAB=UBC=UCA=380V。

假定A相电源瞬时值表达式：uan=220√2sin（314t）（V），根据对称性：ubn=220√2sin（314t-120°），Ucn=220√2sin（314t+120°）。三者有效值（幅值）相等，相位上互差120°。

则有：uab=uan-ubn=220√2sin（314t）-220√2sin（314t-120°）。

根据：sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] 

因此：uab=220√2×2×cos[（314t+314t-120°）/2]×sin[（314t-314t+120°）/2]=220√2×2×cos（314t-60°）×sin60°=220√2×2×（√3/2）×cos（314t-60°）=220√6cos（314t-60°） =220√6cos（-314t+60°）= 220√6sin[90°-（-314t+60°）]=√3×220√2sin（314t+30°）。

所以：UAB=√3×220=√3×UAN，而：√3×220=381.05≈380（V），且uab的初相位为30°，uan的初相位为0°，uab超前uan30°。

正弦量可以用“相量”来表示，即用复数形式表示正弦量，这样有效值用复数的“模”表示，初相位用复数的“幅角”来表示，则：

UAN（相量）=220∠0°，UBN（相量）=220∠-120°，UCN（相量）=220∠120°。如下相量图：

基于以上，所以220V和380V之间的关系，可以用几何的方法进行描述和计算。但是注意的是，220×√3≈380，并不是准确相等。