双曲线上点与焦点连接的三角形面积

Question

F1,F2是x^/9-y^/4=1焦点，F1PF2=30°，求F1PF2面积

Answer 1

这种问题有一个公式：
设∠F₁PF₂=α，双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为P在双曲线上，由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中，由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2·sinα/(1-cosα)

对于本题，a=30°，面积=4(2+√3).