双曲线焦点三角形面积公式推导

Question

为什么不是二分之一底成高而是F1P^2+F2P^2-2F1PxF2Pxcos

Answer 1

设双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/b^2=1,
F1、F2分别是双曲线的左右焦点，P是双曲线上任意一点，PF1和PF2夹角为θ，
在△PF1F2中，根据余弦定理，
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ，
||PF1|-|PF2||=2a,
|F1F2}=2c,
4c^2=(PF1-PF2)^2+2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ,
4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|(1-cosθ)
|PF1|*|PF2|(1-cosθ)=2(c^2-a^2)=2b^2,
|PF1|*|PF2|=2b^2/(1-cosθ),
S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ
=b^2sinθ/(1-cosθ)
=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(sinθ/2)^2]
=b^2*cos(θ/2)/[sin(θ/2)]
=b^2cot(θ/2).追问

我想问一下那个余弦定理，他是九十度的时候，那cos咋算啊

追答

cos90°=0

余弦定理的内容是a²=b²+c²-2bccos A
把F1P F2P F1F2分别带进去
得到F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ
再把||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2}=2c,带进去
就得到4c^2=(PF1-PF2)^2+2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ,
4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|(1-cosθ)
|PF1|*|PF2|(1-cosθ)=2(c^2-a^2)=2b^2,
|PF1|*|PF2|=2b^2/(1-cosθ),

追问

我还是没搞懂，那余弦定理cos要是九十度，怎么算答案，直接带零吗？

追答

θ=90°时 cosθ=0
所以2|PF1|*|PF2|cosθ=0
所以4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|(1-cosθ)=4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|(1-0）=4c^2=4a^2+2|PF1|*|PF2|

追问

好的，谢谢你

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