求y''-y=x的通解

Question

如题所述

Answer 1

解：∵齐次方程y''-y=0的特征方程是r²-1=0，则r=±1
∴齐次方程y''-y=0的通解是 y=C1e^x+C2e^(-x) (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的特解是 y=Ax+B
代入原方程得 -Ax-B=x ==>A=-1，B=0
∴原方程的特解是 y=-x
故原微分方程的通解是 y=C1e^x+C2e^(-x)-x (C1,C2是积分常数)。追问

这位也看错题了……

追答

哈哈，你的原题不就是“求y''-y=x的通解”吗？怎么会看错呢？难道不是这样吗？除非是你打错了！

Answer 2

解：∵齐次方程y''-y'=0的特征方程是r2-r=0
则特征根是r1=0,r2=1
∴齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^x (C1,C2是积分常数)
设原微分方程的一个特解是y=Ax2+Bx
代入原微分方程得2A-B-2Ax=x
比较两端x的同次幂系数，得2A-B=0......(1)
-2A=1......(2)
接方程组(1)(2),得A=-1/2,B=-1
则原微分方程的一个特解是y=-(x/2+1)x=-x(x+2)/2
故原微分方程的通解是y=(C1x+C2)e^x-(x+2)x/2 (C1,C2是积分常数)追问

小哥你看错题目了

追答

不好意思，看错了

y'-y=x 为一阶线性常微分方程，p=-1,q=x ,通解为:

y = e^(∫-pdx)*{∫qe^(∫pdx) dx + C }
= e^(∫1dx)*{∫xe^(∫-1dx) dx + C }
= e^x*{∫xe^(-x) dx + C }
= e^x*{-∫xde^(-x) + C }
= e^x*{ -xe^(-x)+∫e^(-x) dx + C }
= e^x*{ -xe^(-x) -e^(-x) +C }

= Ce^x -x-1

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Answer 3

二楼的解法和答案都是正确的！可以把其答案代入原方程进行检验：
原微分方程的通解是 y=C₁e^x+C₂e^(-x)-x (C₁,C₂是积分常数)，
y′=C₁e^x-C₂e^(-x)-1
y〃=C₁e^x+C₂e^(-x)
故左边=y〃-y=C₁e^x+C₂e^(-x)-[C₁e^x+C₂e^(-x)-x]=x=右边