几道微积分基础题，就高手帮忙解决一下，感激不尽。

Question

实在是伤不起啊……

Answer 1

　　解：第1题，∵x∈[a,b]=[1,3]，将[a,b]采用n等分的“特殊”分法，则每个子区间长度△xi=(b-a)/n=2/n，每个等分点ξi=[a+(b-a)i]/n=(1+2i)/n，i=1,2，……，n。
　　∴根据定积分定义，∫(1,3)f(x)dx=lim(n→∞)∑f(ξi)*(△xi)=lim(n→∞)∑(2/n)f[(1+2i)/n]，其中f[(1+2i)/n]=5[(1+2i)/n]/[4+(1+2i)^2/n^2]。
　　第2题，仿第1题做法，每个子区间长度△xi=(b-a)/n=1/n，每个等分点ξi=[a+(b-a)i]/n=i/n，i=1,2，……，n。
　　∴∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)x^3dx=lim(n→∞)∑(1/n)f(i/n)=lim(n→∞)(1/n^4)∑(i^3)=(1/4)lim(n→∞)[n(n+1)/n^2]^2=1/4。
　　第3题，G(v)=4sinv-5arcsinv+C。
　　第4题，∵f'(t)=(sect)(sect+tant)=(sect)^2+(sect)tant=(sect+tant)'，∴f(t)=sect+tant+C。
　　又，f(π/4）=-6，∴C=-6-√2-1=-7-√2，∴f(t)=sect+tant-7-√2。
　　供参考。