连续，光滑的函数，一定可导吗

Question

如题所述

Answer 1

不一定。
连续光滑的曲线，必然处处有切线，这点是必然的，没有切线的地方，就不光滑。
但是有切线和可导，是两个概念。如果切线垂直于x轴，那么切线无斜率，导数不存在。函数在该点光滑但不可导。
例如函数y=x的3次方根
这个函数在R上连续且光滑。但是在x=0点处的切线是y轴，垂直于x轴，没有斜率。所以这个函数在x=0点处不可导。

Answer 2

光滑一定可导的，光滑就是一阶导函数连续，自然导函数也就存在了。楼上的说法是错的，他说如果切线是平行于y轴，如果切线平行于y轴，那么一个x必定对应了两个y值了（函数值趋于无穷的情况其切线不是平行于y轴的），连函数都不是了

Answer 3

光滑不一定可导，正如y的三分之一次方根，在x＝0处有切线且为光滑的，但在这一点处却不可导；不要把“可导”与“光滑”完全对等起来了

Answer 4

光滑未必可导

Answer 5

若函数f(x)在区间(a,b)内具有一阶连续导数，则其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。