隐函数的导数为什么有时有y?

Question

如题所述

Answer 1

隐函数的导数求出来常含有y，这是因为没有分离成显函数形式的缘故，其实表示的结果是相同的，但"不分离”的结果要比“分离”的结果简洁。比如x^2+y^2=a^2, 以隐函数求导结果是
2x+2yy'=0, 即 x+yy'=0, 如果以x表示y,就可以表示为y'=-x/y=-x/√(a^2-x^2), 而这与先将原方程化成 y=√(a^2-x^2)再求导数的结果是一样的。这个例子是简单些可以方便地分离成显函数，还有复杂的隐函数，比如导数结果是这样的时：3x^2y^2+xyy'+8=0，要分离成显函数是很麻烦的甚至是很困难的也是不必要的，所以就还是以y代替x的形式简便易计算，这也就是隐函数导数结果中常出现y的原因了。