已知函数f(x)=x3+ax2+bx若函数f(x)在x=2处有极值-6,求y=(x)的单调递减区间 若y=(x

Question

已知函数f(x)=x3+ax2+bx
1,若函数f(x)在x=2处有极值-6,求y=(x)的单调递减区间
2 若y=(x)的导数f'(x)对x∈[-1,1]都有f'(x)≤2，求b/a-1的取值范围

Answer 1

f(x)=x3+ax2+bx
f'=3x^2+2ax+b
x=2处有极值-6
f'(-2)=3*(-2)^2+2a*(-2)+b=12-4a+b=0......(1)
f(-2)=(-2)^3+a*(-2)^2+b=8+4a+b=-6......(2)
由（1）、（2）解得：
a=-1/4，b=13
f(x)=x^3-1/4x^2+13x
f'(x)=3x^2-1/2x+13=1/2(6x^2-x+26)=1/2(x+2)(6x-13)
x∈(-∞，-2）和（13/6，+∞）时，f'(x)＞0，f(x)单调增
x∈（-2，13/6）时，f'(x)＜0，f(x)单调减

f'(x)对x∈[-1,1]都有f'(x)≤2
3x^2+2ax+b≤2
即：g(x)=3x^2+2ax+b-2=3[x^2+2a/3 x+（b-2)/3]≤0
x∈[-1,1]都有f'(x)≤2
相当于x^2+2a/3 x+（b-2)/3=(x+1)(x-1)=x^2-1
即：2a/3=0，（b-2)/3=-1
∴a=0，b=-1
b/(a-1)=-1/(0-1)=1

Answer 2

1. f'(x)=3x^2+2ax+b f'(2)=12+4a+b=0
f(2)=8+4a+2b-6 解得：a=-5/2 b=-2
f(x)=x^3-(5/2)x^2-2x, f'(x)=3x^2-5x-2, 令f'(x)=0
x1=-1/3 x2=2
-1/3<x<2时，f'(x)<0, y=f(x)单调减

Answer 3

f'(x)=3x2+2ax+b
f'(2)=0 f(2)=-6
得a=-5/2 b=-2
f'(x)=3x2-5x-2
令f'(x)<0解出区间为（-1/3,2）

Answer 4

可以求得f(x)=x3+ax2+bx的导数为f(x)=X2+2aX+b，带入题目中的数据可以求出a，b，a=-2.5，b=-2，所以为（-1/3,2)，用一个原始的方法为讨论f'(x)的增减区间，还有就是反解出f'(x)的区间。但是操作要求高。