楼主最好自己画图，设AD与HI交与点X,BC与HI交于点Y 然后对照着图看证明
下证 AD,BC,HI三线共点
只需证明：(XH/XI)*(YI/YH)=1
先证明XH/XI=S(ADH)/S(ADI) (S(ADI)表示三角形ADI的面积，其余类同)
事实上 可以作HJ垂直直线AD于J,IK垂直直线AD于K
S(ADH)/S(ADI)=(0.5*AD*HJ)/ (0.5*AD*IK)=HJ/IK=XH/XI(由三角形XHJ相似于三角形XIK)
于是有 XH/XI=S(ADH)/S(ADI)
同理有 YI/YH=S(BCI)/S(BCH)
故 (XH/XI)*(YI/YH)=[S(ADH)/S(ADI) ]*[S(BCI)/S(BCH)]
=[(0.5*AH*HD*sinAHD)/(0.5*AI*ID*sinAID)]*[(0.5*BI*CI*sinBIC)/(0.5*BH*HC*sinBHC)]
=[(AH*HD)/(AI*ID)]*[(BI*IC)/(BH*HC)](这是因为角AHD=角AID,角BIC=角BHC)
=[(AH*HD)/(BH*HC)]*[(BI*IC)/(AI*ID)]=(AH/BH)*(DH/CH)*(BI/AI)*(CI/DI)
由EH,EI是切线 知三角形EAH相似于三角形EHB ，有 AH/BH=EA/EH
三角形EHD相似于三角形ECH ,有 DH/CH=EH/EC
三角形EIB相似于三角形EAI,有 BI/AI=EI/EA
三角形ECI相似于三角形EID,有 CI/DI=EC/EI
故(XH/XI)*(YI/YH)=(AH/BH)*(DH/CH)*(BI/AI)*(CI/DI)=(EA/EH)*(EH/EC)*(EI/EA)*(EC/EI)
=1
所以 AD,BC,HI三线共点 命题得证。
事实上 AC,BD的交点也在直线HI上
下证 AD,BC,HI三线共点
只需证明：(XH/XI)*(YI/YH)=1
先证明XH/XI=S(ADH)/S(ADI) (S(ADI)表示三角形ADI的面积，其余类同)
事实上 可以作HJ垂直直线AD于J,IK垂直直线AD于K
S(ADH)/S(ADI)=(0.5*AD*HJ)/ (0.5*AD*IK)=HJ/IK=XH/XI(由三角形XHJ相似于三角形XIK)
于是有 XH/XI=S(ADH)/S(ADI)
同理有 YI/YH=S(BCI)/S(BCH)
故 (XH/XI)*(YI/YH)=[S(ADH)/S(ADI) ]*[S(BCI)/S(BCH)]
=[(0.5*AH*HD*sinAHD)/(0.5*AI*ID*sinAID)]*[(0.5*BI*CI*sinBIC)/(0.5*BH*HC*sinBHC)]
=[(AH*HD)/(AI*ID)]*[(BI*IC)/(BH*HC)](这是因为角AHD=角AID,角BIC=角BHC)
=[(AH*HD)/(BH*HC)]*[(BI*IC)/(AI*ID)]=(AH/BH)*(DH/CH)*(BI/AI)*(CI/DI)
由EH,EI是切线 知三角形EAH相似于三角形EHB ，有 AH/BH=EA/EH
三角形EHD相似于三角形ECH ,有 DH/CH=EH/EC
三角形EIB相似于三角形EAI,有 BI/AI=EI/EA
三角形ECI相似于三角形EID,有 CI/DI=EC/EI
故(XH/XI)*(YI/YH)=(AH/BH)*(DH/CH)*(BI/AI)*(CI/DI)=(EA/EH)*(EH/EC)*(EI/EA)*(EC/EI)
=1
所以 AD,BC,HI三线共点 命题得证。
事实上 AC,BD的交点也在直线HI上
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第1个回答 2011-01-14
设AD与HI交与点X,BC与HI交于点Y 若证 AD,BC,HI三线共点
只需证明：(XH/XI)*(YI/YH)=1
先证明XH/XI=S(ADH)/S(ADI) (S(ADI)表示三角形ADI的面积，其余类同)
事实上 可以作HJ垂直直线AD于J,IK垂直直线AD于K
S(ADH)/S(ADI)=(0.5*AD*HJ)/ (0.5*AD*IK)=HJ/IK=XH/XI(由三角形XHJ相似于三角形XIK)
于是有 XH/XI=S(ADH)/S(ADI)
同理有 YI/YH=S(BCI)/S(BCH)
故 (XH/XI)*(YI/YH)=[S(ADH)/S(ADI) ]*[S(BCI)/S(BCH)]
=[(0.5*AH*HD*sinAHD)/(0.5*AI*ID*sinAID)]*[(0.5*BI*CI*sinBIC)/(0.5*BH*HC*sinBHC)]
=[(AH*HD)/(AI*ID)]*[(BI*IC)/(BH*HC)](这是因为角AHD=角AID,角BIC=角BHC)
=[(AH*HD)/(BH*HC)]*[(BI*IC)/(AI*ID)]=(AH/BH)*(DH/CH)*(BI/AI)*(CI/DI)
由EH,EI是切线 知三角形EAH相似于三角形EHB ，有 AH/BH=EA/EH
三角形EHD相似于三角形ECH ,有 DH/CH=EH/EC
三角形EIB相似于三角形EAI,有 BI/AI=EI/EA
三角形ECI相似于三角形EID,有 CI/DI=EC/EI
故(XH/XI)*(YI/YH)=(AH/BH)*(DH/CH)*(BI/AI)*(CI/DI)=(EA/EH)*(EH/EC)*(EI/EA)*(EC/EI)
=1
所以 AD,BC,HI三线共点 命题得证。
只需证明：(XH/XI)*(YI/YH)=1
先证明XH/XI=S(ADH)/S(ADI) (S(ADI)表示三角形ADI的面积，其余类同)
事实上 可以作HJ垂直直线AD于J,IK垂直直线AD于K
S(ADH)/S(ADI)=(0.5*AD*HJ)/ (0.5*AD*IK)=HJ/IK=XH/XI(由三角形XHJ相似于三角形XIK)
于是有 XH/XI=S(ADH)/S(ADI)
同理有 YI/YH=S(BCI)/S(BCH)
故 (XH/XI)*(YI/YH)=[S(ADH)/S(ADI) ]*[S(BCI)/S(BCH)]
=[(0.5*AH*HD*sinAHD)/(0.5*AI*ID*sinAID)]*[(0.5*BI*CI*sinBIC)/(0.5*BH*HC*sinBHC)]
=[(AH*HD)/(AI*ID)]*[(BI*IC)/(BH*HC)](这是因为角AHD=角AID,角BIC=角BHC)
=[(AH*HD)/(BH*HC)]*[(BI*IC)/(AI*ID)]=(AH/BH)*(DH/CH)*(BI/AI)*(CI/DI)
由EH,EI是切线 知三角形EAH相似于三角形EHB ，有 AH/BH=EA/EH
三角形EHD相似于三角形ECH ,有 DH/CH=EH/EC
三角形EIB相似于三角形EAI,有 BI/AI=EI/EA
三角形ECI相似于三角形EID,有 CI/DI=EC/EI
故(XH/XI)*(YI/YH)=(AH/BH)*(DH/CH)*(BI/AI)*(CI/DI)=(EA/EH)*(EH/EC)*(EI/EA)*(EC/EI)
=1
所以 AD,BC,HI三线共点 命题得证。
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