已知函数f(x)=2lnx-x 2 （x＞0）。（1）求函数f(x)的单调区间与最值； （2）若方程2xlnx+mx-x 3 =0在区间

Question

已知函数f(x)=2lnx-x 2 （x＞0）。（1）求函数f(x)的单调区间与最值； （2）若方程2xlnx+mx-x 3 =0在区间[ ，e]内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；（其中e为自然对数的底数） （3）如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A（x 1 ，0），B（x 2 ，0），且0＜x 1 ＜x 2 ，求证：g′(px 1 +qx 2 )＜0（其中，g′(x)是g(x)的导函数，正常数p，q满足p+q=1，q＞p）

Answer 1

解：（1）∵ ，x＞0， ∴当0＜x＜1时， ，f(x)单调递增； 当x＞1时， ，f(x)单调递减； ∴当x=1时，f(x)有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值； 故f(x)的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；最大值为-1，但无最小值。 （2）方程 化为 ， 由（1）知，f(x)在区间 上的最大值为-1， ， ∴f(x)在区间 上的最小值为 ， 故 在区间 上有两个不等实根需满足 ， ∴ ，∴实数m的取值范围为 。 （3）∵ ，又f(x)-ax=0有两个实根， ∴ ， 两式相减，得 ， ∴ ， 于是 = ， ， 要证： ，只需证： ， 只需证： ， (＊) 令 ， ∴(＊)化为 ， 只证 即可，   = = ∴t-1＜0， ∴ ，∴ 在（0，1）上单调递增，∴ ， ∴ ，∴ ， 即： ， ∴ 。