高中平面几何选讲 证明题

Question

做出来几问是几问，拜托啦~

Answer 1

1.
证明，
因为AD//BC，所以角OAD = 角OCB，且角ODA = 角OBC。
所以三角形AOD和三角形OBC相似，因此有：
AO/OC = OD/OB
所以AC/AO = (AO+OC)/AO = 1 + OC/AO = 1 + OB/OD = (OB+OD)/OD = BD/OD
在三角形ABC和三角形AEO中，EF//BC
所以三角形AEO和三角形ABC相似，
所以EO/BC = AO/AC
同理三角形DOF和三角形DBC相似，
所以OF/BC = DO/DB
因为AO/AC = DO/DB
所以EO/BC = OF/BC
也即OE = OF

2.
因为OE//AD，所以三角形BOE和三角形BDA相似
所以OE/AD = BO/BD
同理有三角形AOE和三角形ABC相似，
所以OE/BC = AO/AC = DO/BD
所以OE/AD + OE/BC = BO/BD + DO/BD = BD/BD = 1

3.
根据2的结果，
OE/AD + OE/BC = 1
也即OE * (1/AD + 1/BC) = 1
所以1/AD + 1/BC = 1/OE
又因为OE = OF
所以OE = 1/2 EF
也即
1/AD + 1/BC = 1/OE = 2/EF

谢谢采纳 ^_^