æ±å¾®åæ¹ç¨ y'=(y+lnx)/x çé解ã
解ï¼y'-(y/x)=(lnx)/x.........â ï¼å
æ±é½æ¬¡æ¹ç¨y'-(y/x)=0çé解ï¼
å离åéå¾ï¼dy/y=dx/xï¼ç§¯åä¹å¾ï¼lny=lnx+lnc₁=lnc₁x;
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é½æ¬¡æ¹ç¨çé解为ï¼y=c₁xï¼å°c₁æ¢æxçå½æ°uï¼å¾ï¼y=ux..........â¡
对â¡å导æ°å¾ï¼y'=u+xu'.........â¢ï¼å°â¡â¢ä»£å
¥åå¼å¾ï¼u+xu'=(ux+lnx)/x=u+(lnx)/x
åç®å¾xu'=(lnx)/xï¼æ
u'=(lnx)/x²ï¼å³du=[(lnx)/x²]dxï¼â´u=â«[(lnx)/x²]dx.............â£
令lnx=tï¼åx=e^tï¼dx=e^tdtï¼ä»£å
¥â£å¼å¾ï¼u=â«[(t/e^2t)](e^t)dt=â«te^(-t)dt
=-â«td[e^(-t)]=-[te^(-t)-â«e^(-t)dt]=-te^(-t)+â«e^(-t)dt=-te^(-t)-â«e^(-t)d(-t)
=-te^(-t)-e^(-t)+c=-(t+1)/e^t+c=-[(1+lnx)/x]+cï¼ä»£å
¥â¡å¼å³å¾åæ¹ç¨çé解为ï¼
y=x{-[(1+lnx)/x]+c}=cx-1-lnx;
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