勾股定理

Question

如题所述

Answer 1

勾股定理

勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。可是，我国周朝初年（约公元前1100年）的数学家商高早就讲到过“勾广三，股修四，径隅五”，这实际上就是勾股定理的一个特例。根据我国史书记载，早在公元前五六世纪，就用过勾方加股方等于弦方的公式，不过没有证明过程。我国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。这一时期的研究既有理论又有应用，在《九章算术》中有详细的记载。而定理的证明，三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。

赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）。

赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”开方除之是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理即：a2+b2=c2。他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四。以勾股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。”

即2ab+（b-a）2=c2

化简便得出：a2+b2=c2

这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。

勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索过它的证明方法。据说，它的证明方法有500来种。我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎（1633～1712年），他发明的一种证法极为简便，只需用一张硬纸，剪上几剪刀，一拼就可证明出来，读者如有兴趣不妨试一试。在1940年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中，就专门搜集了367个不同的证法。其中有一个证法最令人感兴趣，它是由一位美国总统作出的！

根据当代著名数学科普作家马丁·加德纳的报道，1876年4月1日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法，编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供的，是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的，并且得到了两党议员的一致同意。后来，加菲尔德被选为美国总统。于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段珍闻轶事了（据说这是美国总统对数学的唯一贡献）。

加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形ABC，设其边长分别为BA=c是斜边，AC=b，BC=a。作AE⊥BA，并使AE=BA，再延长CA到D，使AD=BC=a，连D、E，则四边形CBED梯形，

求证△DAE与△CBA是全等三角形，于是△DAE、△CBA与△ABE的面

由于三个三角形面积之和即是梯形的面积，因此可得出等式：

化简后即得等式：a2+b2=c2

这样勾股定理便得到证明。

人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴比伦人就知道三条边为下列各数的一些三角形：

120，119，169；

3456，3367，4825；

4800，4601，6649；

13500，12709，18541；

72，65，96；

360，319，481；

2700，2291，2541；

960，799，1249；

600，481，769；

6480，4961，8161；

60，45，75；

2400，1697，2929；

240，161，289；

2700，1771，3229；

90，56，106。

以上每个数组中的数，我们称为勾股数。

一般说来，如果正数x，y，z能满足下列不定方程

x2+y2=z2（1）

则这些整数叫做勾股数。

那么怎样求出勾股数呢？我们再观察几个简单的直角三角形的边：

3，4，5；5，12，13；

7，24，25；9，40，41；

11，60，61；13，84，85；

……

从这些数中，可发现以下规律：

第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第一个数的平方加1再除以2，即设m为奇数，则一般会有：

于是就有

其中m为奇数。

但这只是一部分勾股数的规律。

（2）式两边同乘以4，则变形得：

（2m）2+（m2-1）2=（m2+1）2 （3）

很显然（3）式不论m是奇数还是偶数，等式都能成立。

然而由（3）式仍不能得到全部的勾股数。

那么怎样才能得到全部的勾股数呢？在公式（3）中，m为任意自然数，1是一个特殊的自然数，若它也变成任意自然数，设它变成n，为了使（3）式保持恒等，（3）中的第一项（2m）2应变成（2mn）2，则有

（2mn）2+（m2-n2）2=（m2+n2）2（4）

其中m＞n，（m，n）=1且m除以n的余数不等于2。

那么，可以证明出式（4）包括了全部勾股数。对于勾股定理的深入研究，人们不仅要问

xn+yn=xn（5）

其中n＞2，n是自然数。（5）式是否也有正整数解呢？这就是到现在还仍未解决的“费马猜想”。

通过上面的介绍，各位读者是否觉得勾股定理十分有趣呢？

Answer 2

勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

这个定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。"什么是"勾、股"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
参考资料：http://ldxx.xicp.net/web/pan/text/1/3.htm本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

勾三股四弦五。这是直角三角形的定理。即两个直角边的平方相加等于斜边的平方。这定理有助于求知在已知具备条件下的未知边的长度等等。

Answer 4

就是勾三股四弦五,
两直角边的平方和等于斜边的平方.

Answer 5

直角三角形的两直角边长度的乘方等于斜边的乘方