二项式定理

Question

如题所述

Answer 1

(a+b)^n=a^n+[C(n,1)]a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)b^2+……+C(n-1,n)ab^(n-1)+b^n
通项T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)*b^k

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。

公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n

式中,C(n,i)表示从n个元素中任取i个的组合数=n!/(n-i)!i!

此定理指出:

1、(a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。

等号右边的多项式叫做二项展开式。

2、二项展开式的通项公式(简称通项)为C（n，r）(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示(其中"r+1"为角标)，即通项为展开式的第r+1项(如下图)，即n取i的组合数目。

因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形

二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为:

1 n=0

1 1 n=1

1 2 1 n=2

1 3 3 1 n=3

1 4 6 4 1 n=4

1 5 10 10 5 1 n=5

1 6 15 20 15 6 1 n=6

…………………………………………………………

(左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和)

扩展资料

在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。

杨辉三角

1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明。

1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。

参考资料：二项式定理的百度百科

Answer 2

1.二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)
2.通项公式：Tr＋1＝Can－rbr
3.二项式系数性质：
(1)距两端等距离的二项式系数相等，即C＝C.
(2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大.
当n为偶数时，中间一项（即第＋1项）的二项式系数最大;
当n为奇数时，中间两项（即第和第＋1项）的二项式系数最大.
(3)在二项展开式中各项的二项式系数和为2n，即：
C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(4)在二项展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，都等于2n－1，即
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
二、重点难点突破
掌握二项式定理及其通项公式是本节的重点，会求二项展开式、展开式的中间项等指定项，会求二项式系数，指定项系数等.这些都是二项式定理的灵活运用，是本节的难点.突破难点的关键是准确熟练地写出二项展开式及通项公式.
(a＋b)n的展开式具有如下性质：
1.展开式的项数：共n＋1项.
2.展开式的每一项的指数：a与b的指数之和为n，即二项展开式各项的次数等于二项式的次数n，字母a的指数依次降幂排列，指数由n逐次减1直到0，字母b按升幂排列，指数从0起逐项加1到n.
3.二项式系数的特征：每一项的系数为一组合数，第r＋1项的系数为C.
学习二项式定理时，还应注意：
1.二项式定理从左到右的使用为展开，从右到左的使用可以化简、求和和证明.这个公式的逆用功能不可忽视.
2.对于通项公式是相对于(a＋b)n标准形式而言的，对于(a－b)n的展开式的通项Tr＋1＝(－1)r
Can－rbr，它是第r＋1项而不是第r项，公式中的a，b位置不能颠倒.利用通项公式可求展开式的特定项.追问

忘记放题目了 求(1-8)^8展开各项系数的绝对值的和

追答

好吧

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Answer 3

1、第一个问题：什么是二项式？
x、y、2、3、4a、5b、6ab、7x²、8xy²、9axy、-2x²y³、-4abcx²y³z⁴、、、
上面这些都是单项式，monomial。
3+a，4-b，5+x，6-x²，x+y，a+x，b-y，3x-5y，2ax²
-
3by³，abcx+defy、、、
上面这些都是二项式，binomial，它们不是同类项(like
terms)，不可以合并。
1+a-b，2-a-b，3a+4b+5c，ab+cd+ef，x²+y³+z⁴，6a-7x+8x²，x+x²+x³，
2x²+5y³-7z⁴，123+456abc-789xyz，x²yz-xy³z-xyz⁴，ax+by-cz，、、、、、、
上面这些都是三项式，trinomial，三项式和三项式以上的都叫多项式，polynomial。
2、(x
+
y)²
=
x²
+
2xy
+
y²
(x
-
y)²
=
x²
-
2xy
+
y²
(x
+
y)³
=
x³
+
3x²y
+
3xy²
+
y³
(x
-
y)³
=
x³
-
3x²y
+
3xy²
-
y³
(x
+
y)⁴=
x⁴+
4x³y
+
6x²y²
+
4xy³
+
y⁴
(x
-
y)⁴=
x⁴-
4x³y
+
6x²y²
-
4xy³
+
y⁴
、、、、、、、、、、、
上面这些公式，楼主一定知道是怎么展开的。
左边的括号里，是二项式，右边是多项式，所以称为二项式展开。
其实这句话说得并不准确，既然是二项式，展开不展开，仍是二项式，怎么是多项式？
确切意思是二项式的多次幂，展开后成为多项式。
初学者的幂次，肯定是正整数，以后可以是分数，也可以是负数，甚至是无理数。
3、无论幂次是正整数，负整数、分数、负分数、无理数，二项式理论就是指展开后的
系数规律，如何计算。
至于解题技巧，在这里三言两语是说不清的，另外也不知道楼主学到了什么深度？
学到麦克劳林级数、泰勒级数了吗？学了复数了吗？学了统计分布了吗？、、、、
不同的深度，解题的特色是不一样的。如果只是学了简单的概率计算的话，要注意
符号的意思，符号的抽象运算。
特别值得一提的是：
如果楼主想打算出国留学，最好别看国内的中文书籍，因为在符号使用上，国内不理睬
国际的通用法，标示法完全相反，参加国际考试的学生不知被残害了多少！！！

Answer 4

Answer 5

什么是二项式、二项式定理