函数的奇偶性问题

Question

1,设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=-f(x),当x∈[0，1]时，f（x）=x,则f(47.5)=?

2,已知偶函数f(x)在[0，2]内单调递减，若a=f(-1),b=f(log½¼)，c=f(lg0.5),求a,b,c的大小关系.

3,定义在[-1,1]上的函数y=f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a²-a-1)+f(4a-5)＞0，求实数a的范围,

Answer 1

解：
第一题：由f(x+2)=-f(x)，可得：f(x)=-f(x-2),，进而有f(x+2)=f(x-2).
应用以上关系得：f(47.5)=f(-0.5)，
又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x),即f(-0.5)=-f(0.5),
当x∈[0，1]时，f（x）=x,则f(47.5)=-f(0.5)=-0.5.
第二题：首先我们来比较-1,log½¼，log0.5,
统一得-1=log0.1，因为0.1＜0.5＜0.5^¼,且log是单调递增的
所以﹣1＜log0.5＜log½¼，
又因为偶函数f(x)在[0，2]内单调递减，所以在[-2,0]单调递增，
所以a＜c＜b。
第三题：分析应有如下关系
-1＜=a²-a-1＜=1
-1＜=4a-5＜=1
a²-a-1＜﹣(4a-5)
解上式得：
[-1,0][1,2]
[1,3/2]
((-3-33½)/2,(-3+33½)/2)
所以a属于[1,(-3+33½)/2)。

Answer 2

1、∵f(x＋2)＝﹣f(x)＝f(x－2) ∴f(x＋4)＝f(x) ∴f(47.5)＝f(47.5－4×12)＝f(﹣0.5)
∵f(x)是R上的奇函数 ∴f(﹣0.5)＝﹣f(0.5)
∵当x∈[0，1]时，f(x)＝x ∴f(0.5)＝0.5 ∴f(47.5)＝﹣f(0.5)＝﹣0.5
2、∵偶函数f(x) ∴a＝f(﹣1)＝f(1)
∵log½¼＝log½(½)²＝2 ∴b＝f(2)
∵lg0.5＝﹣lg2 ∴c＝f(﹣lg2)＝f(lg2)
∵0＜lg2＜1＜2 f(x)在[0，2]内单调递减
∴c＞a＞b
3、∵f(a²-a-1)+f(4a-5)＞0 ∴f(a²－a－1)＞﹣f(4a－5)
∵f(x)是奇函数 ∴f(a²－a－1)＞f(5－4a)
∵定义在[-1,1]上的函数y=f(x)是减函数
∴﹣1≤a²－a－1≤1且﹣1≤5－4a≤1且a²－a－1＜5－4a
∴1≤a≤3/2且a²＋3a－6＜0
∴1≤a≤3/2且﹣(3＋√33)/2＜a＜(﹣3＋√33)/2
∵1＝(﹣3＋5)/2＜(﹣3＋√33)/2＜(﹣3＋6)/2＝3/2
∴1≤a＜(﹣3＋√33)/2本回答被提问者采纳

Answer 3

1. f(x+2)=-f(x) 知周期4，f(47.5)=f(47.5-4*12)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5
2. a=f(-1) b=f(2) lg0.5<log2 0.5=-1 lg0.5>lg0.01>-2
a>c>b
3. 由题知 a²-a-1<4a-5 1<a<4
又 -1<a²-a-1<1 , -1<4a-5<1 de 1<a<1.5
所以 1<a<1.5