第一题选B.
A显然错误,因为包含零向量的集合就必定线性相关,或者,添上与某个a_i 相等的向量.
C,D 等价于说 {a_i} 是线性相关的.
第二题选B,
A的行列式为0,当且仅当A的行向量线性相关.
第三题选A.
用 f 表示与A对应的,从 K^n 到 K^m 的线性映射,这里姑且设K是实数域或复数域.固定K^n的一个基,则方程Ax=0的解空间与f的核Ker(f)有一一对应,方程仅有零解等价于说Ker(f)={0},等价于说f 是单射.
这里利用维数定理
n= dim(Im(f))+dim(Ker(f))
以及dim(Im(f)= rank(A)
Ker(f)={0}等价于矩阵A的秩rank(A)等于n,即A的n个列向量线性无关.
第四题选C.
A的反例:令所有的a_i都相等.
D的反例:令s=3,考虑向量组{(1,0) , (0,1) ,(1,1) }.
这也提供了B的反例.
第五题选C.
幸运的是,一眼就可以看出必须从B,C中选择.
条件意味着,这两个向量组生成的子空间一致,从而(子空间的)维数一致,也就是(向量组的)秩相等.
加分倒不用,如果我有错误请告诉我:)
A显然错误,因为包含零向量的集合就必定线性相关,或者,添上与某个a_i 相等的向量.
C,D 等价于说 {a_i} 是线性相关的.
第二题选B,
A的行列式为0,当且仅当A的行向量线性相关.
第三题选A.
用 f 表示与A对应的,从 K^n 到 K^m 的线性映射,这里姑且设K是实数域或复数域.固定K^n的一个基,则方程Ax=0的解空间与f的核Ker(f)有一一对应,方程仅有零解等价于说Ker(f)={0},等价于说f 是单射.
这里利用维数定理
n= dim(Im(f))+dim(Ker(f))
以及dim(Im(f)= rank(A)
Ker(f)={0}等价于矩阵A的秩rank(A)等于n,即A的n个列向量线性无关.
第四题选C.
A的反例:令所有的a_i都相等.
D的反例:令s=3,考虑向量组{(1,0) , (0,1) ,(1,1) }.
这也提供了B的反例.
第五题选C.
幸运的是,一眼就可以看出必须从B,C中选择.
条件意味着,这两个向量组生成的子空间一致,从而(子空间的)维数一致,也就是(向量组的)秩相等.
加分倒不用,如果我有错误请告诉我:)
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