数论问题：设a,b是两个正整数,(a,b)=1,P为大于或等于3的质数,c=(a+b,(a^p+b^p)/a+b) 证：(c,a)=1 c=1或c=p

Question

(a,b)=1的最大公约数为1，(a^p+b^p)没有意义，只是括号作用。
c=(a+b,(a^p+b^p)/a+b)：c为a+b与(a^p+b^p)/a+b的最大公约数
(c,a)=1:c,a的最大公约数是1

Answer 1

c=(a+b,(a^p+b^p)/(a+b))
=(a+b, a^(p-1)-a^(p-2)*b+a^(p-3)b^2....+b^(p-1))------------------a=(a+b)-b
=(a+b, (-b)^(p-1)-(-b)^(p-2))b+(-b)^(p-3)b^2...+b^(p-1) )---------p-1是偶数
=(a+b, p*b^(p-1) )----------已知条件得：（a+b, b^(p-1))=1，故可以去掉b^(p-1)
＝（a+b, p)
=1（当a+b不是p的倍数时）或者p(当a+b是p的倍数时)

(c,a）＝（a+b, p, a)=(b, p, a)=1

Answer 2

E