解：（1）f(x)的导函数为f(x)'=3x^2+2bx+c=3（x+b/3)^2-b^2+c(此为函数的顶点式，可看出该函数的对称轴为x=-b/3)，故有-b/3=2，解得b=-6
（2）把b=-6代入原式有f(x)=x^3-6x^2+cx，则f(x)'=3x^2-12x+c，
f（x）在x=t处取得极小值，则有f(t)'=3t^2-12t+c=0,g(t)=t^3-6t^2+ct
且有t>2，即f（x）的定义域为【2，+无穷】
（不好意思，"无穷”的符号不知道怎么打上来）（关于t>2，可以画个图，以f(t)'为纵坐标，x为横坐标，f(t)'关于直线x=2对称，当x=t 时，f(t)'=0。f（x）在x=t处取得极小值，说明当x<t 时，f（x）是单减的，即f(t)'<0；当x>t 时，f（x）是单增的，即f(t)'>0。而 当x<t 时，f(t)'<0；当x>t 时，f(t)'>0，一定有t大于2）
f(t)'=3t^2-12t+c=0 解得 c=-3t^2+12t，代入g(t)=t^3-6t^2+ct
则g(t)=t^3-6t^2-3t^3+12t^2= -2t^3+6t^2 （t>2）
g(t)'= --6t^2+12t= --6t(t+2)
令g(t)'= --6t(t+2)=0时，解得t=0或者t=-2
则g(t)在区间 [-无穷，-2] ，[0,+无穷]上为增函数，
在区间 [-2,0]上为减函数
由t>2知g(t)在t=2时有最小值，g(2)= -2x2^3+6x2^2=8 （画图可知，没有最大值）
故
g(t)的值域为[8，+无穷]
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