第五节 解直角三角形的应用
【回顾与回顾】
问题
【例题经典】
关于坡角
【例1】（2005年济南市）下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路．山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01米）
（1）求山坡路AB的高度BE．
（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？
（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）
方位角.
【例2】（2006年襄樊市）如图，MN表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图，在点M测得点N在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向，以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？
【点评】通过设未知数，利用函数定义建立方程来寻求问题的解决是解直角三角形应用中一种常用方法．
坡度
【例3】（2005年辽宁省）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米（如图所示）求：
（1）渠面宽EF；
（2）修200米长的渠道需挖的土方数．
【考点精练】
一、基础训练
1．（2006年广州市）如图1，A市东偏北60°方向有一旅游景点M，在A市东偏北30°的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西15°，则景点M到公路AC的距离MN为________米（结果保留根号）．
(1) (2) (3)
2．（2006年海淀区）如图2，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A到岸边BC的距离是________米．
3．（2005年湘潭市）如图3，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米（精确到0.1米）．
4．（2006年山西省）如图4，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在山坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影子长为2米，则电线杆的高度约为_______米（结果保留两位有效数字， ≈1.41， ≈1.73）．
(4) (5) (6)
5．（2005年临汾市）小强和小明去测量一座古塔的高度（如图5），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE的高为（ ）
A．（20 -1.5）米 B．（20 +1.5米）
C．31.5 D．28.5
6．（2006年新疆自治区）如图6是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（ ）
A．（60+100sinα）cm B．（60+100cosα）cm
C．（60+100tanα）cm D．以上答案都不对
7．（2006年威海市）如图，河流的两岸MN，PQ互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E……．某人在河岸MN的A处测得∠DAN=38°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CF（精确到0.1米）．
8．（2005年哈尔滨市）如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（答案保留根号）
二、能力提升
9．（2005年包头市）如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）试说明B点是否在暗礁区域处；
（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
10．（2005年嘉兴市）如图，已知登山缆车行驶路线与水平线间的夹角α=30°，β=47°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数）（以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
11．如图所示，从一块矩形薄板ABCD上裁下一个工件GEHCPD（阴影部分）．图中EF‖BC，GH‖AB，∠AEG=11°18′，∠PCF=33°42′，AG=2cm，FC=6cm，求工件GEHCPD的面积．
（参考数据：tan11°18′≈ ，tan33°42′≈ ）
12．（2006年常德市）如图所示，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1： ，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底处测得铁架顶端A的仰角为45°，在山坡的坡项D处测得铁架顶端A的仰角为60°．
（1）求小山的高度；
（2）求铁架的高度．（ ≈1.73，精确到0.1米）
13．（2006年梅州市）梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度．如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，测得影长CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE与地面的夹角为α=30°．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆AB的高度．（可能用到的数据： ≈1.414， ≈1.732，结果保留两个有效数字）
三、应用与探究
14．（2006年鄂尔多斯市）高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB，如图所示．
（1）某一时刻测得大树AB，教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.5米，DF=7.5米，求大树AB的高度；
（2）现有皮尺和高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：
①在图中，画出你设计的图形（长度用字母m，n……表示，角度用希腊字母α，β……表示）；
②根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度用字母表示．
答案:
例题经典
例1：（1）8.72 （2）101.73
例2：不会
例3：①4.88 ②710.4
考点精练
1．200（ +1） 2．30 3．13.4 4．8.73
5．B 6．A 7．76.4 8．15 +
9．（1）外 （2）BC=15.59<16 10．约210米 11．48cm2
12．（1）25米 （2）铁架高25 ≈43.3米
13． ≈8.9米
14．连结AC，EF，
（1）∵太阳光线是平行，
∴AC‖EF，∠ACB=∠EFD，
∵∠ABC=∠EDF=90°，
∴△ABC∽△EDF，∴ ，
∴AB=4米
（2）AB=（mtanα+h）米．
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