极坐标内两曲线围成的面积,怎么知道哪个区间对应哪个函数

Question

如题所述

Answer 1

前面已经总结了 2022 年考研数学试题[1]。在解答试题的同时，我会特别强调一些与试题有关联的结论和思想，力求能够举一反三。

33 (数学二 15) 设曲线  的极坐标方程为   则  所围区域的面积为__________。

一般地，极坐标系中，设函数  在区间  上非负，则曲线  与直线   所围区域的面积为



我们解释一下这个结论是怎么来的。需要注意的是，这种解释并不是严格证明，但是有利于掌握这个结论，以及建立直观理解。

首先是扇形的面积。半径为  的半圆的面积是  且可以将它看作是半径为  圆心角为  的扇形，而相同半径的扇形的面积与它的圆心角成正比，于是半径为  圆心角为  的扇形的面积是 

然后是用微元法求问题所给区域的面积。对于  取角度微元  则曲线  与直线   所围区域是半径为  圆心角为  的扇形，面积为  这样就得到了结论。

反观直角坐标下曲线与坐标轴之间的区域面积。设函数  在区间  上非负，对于  取长度微元  则曲线  与直线    所围区域是边长为  的矩形，面积为  于是曲线  与直线    所围区域的面积为 

使得极坐标比直角坐标的情形复杂的原因在于，极坐标下的面积微元由扇形的面积求出，形式比矩形的面积复杂。知道了原理，就不用死记公式了。

本题中，由于当  或  时  所以在描述时不说曲线  与直线   所围区域的面积，而是说曲线   所围区域的面积。

利用上面的结论，求出这个面积为



Answer 2

极坐标方程求面积，把极坐标转化成平面直角坐标 确定被积区间 这样求面积。