对数函数有哪些主要性质？

Question

如题所述

Answer 1

对数函数主要性质：

定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1

和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

值域：实数集R，显然对数函数无界；

定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；

0<a<1时，在定义域上为单调减函数；

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

对称性：无

最值：无

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）

当0<a<1, 0<b<1时，y=logab>0;

当a>1, b>1时，y=logab>0;

当0<a<1, b>1时，y=logab<0;

当a>1, 0<b<1时，y=logab<0。

Answer 2

　　一般地，函数y=loga X，（其中a是常数，a>0且a不等于1），叫做对数函数。对数函数的性质主要有：

对数函数y=loga x与y=a^x，互为反函数，即关于y=x对称。


对数函数的定义域为大于0的实数集合。

对数函数的值域为全部实数集合。

对数函数图像总是通过（1,0）点。

a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。

对数函数是无界的。

当a=e，或者a=10，此时对数函数为常数对数函数，即为y=lnx和y=lgx.

Answer 3

一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数则要>0且≠1 真数>0。

在比较两个函数值时：
如果底数一样，真数越大，函数值越大。(a>1时)
如果底数一样，真数越小，函数值越大。(0<a<1时）

当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga(M/N)=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R)
(4)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)
(5)a(log(b)n)=n(log(b)a) 证明：
设a=nx则alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)
(6)对数恒等式：alog(a)N=N;log(a)ab=b