设f"(x)<0，f(0)=0，证明：当0<a≤b时，f(a+b)<f(a)+f(b).

Question

如题所述

Answer 1

由中值定理有存在c1,c2满足 0<c1<a≤b<c2<a+b
使得 f(a+b)-f(b)=af'(c1), f(a) = f(a)-f(0) =af'(c2)
因f''(x)<0，所以 f'(x)为减函数
所以 有 f(a+b)-f(b)=af'(c1) < af'(c2) = f(a)
即 f(a+b)<f(a)+f(b)

Answer 2

题目没问题麽？我觉得解法应该是证明
f'(ksai1)a=f(a+b)-f(b)<f(a)-f(0)=f'(ksai2)a,两边用中值定理
然后ksai1属于[b,a+b],ksai2属于[0,a],然后根据f''的单调性来判断。

如果是题目所说的，可以有反例 f(x)=-x