设函数f（x）=|1gx|，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），证明：ab＜1

Question

设函数f（x）=|1gx|，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），证明：ab＜1．

Answer 1

证明：由已知函数f（x）=|1gx|= lgx (1≤x) -lgx (0＜x＜1) （2分） ∵0＜a＜b，f（a）＞f（b）， ∴a、b不能同时在区间[1，+）∞上，又由于0＜a＜b，故必有a∈（0，1）； （6分） 若b∈（0，1），显然有ab＜1（8分） 若b∈[1，+∞），由f（a）-f（b）＞0， 有-1ga-1gb＞0， 故1gab＜0， ∴ab＜1（12分）