关于线性代数的几个问题

Question

1.设A为3阶可逆矩阵且|A|=2,则|A*|=？
我是这样做的：先求A的逆=1/2，然后根据A*=|A|A^-1，两边取行列式，的|A*|=1，但是答案是4
2.A=（1 0 0） （2 2 0） （3 4 5），则（A*)^-1=?
3.设A,B均是n阶方阵且|A|=2,A^2+AB+2e=o,则|A+B|=?
我这么做的：A(A+B)+2E=O,取行列式，即2|A+B|+2=0，则|A+B|=-1，但是答案是-4
4.若A^2=O,则A不可逆
那举个例子，（1 -1） （1 1 ） 平方后行列式为0，但是本身不为0.A不是可逆了吗？
5.设A为n阶方阵，r(A)=n-2,则r(A*)=?

请您指出我的错误，并详细解答。衷心感谢！

Answer 1

1.|A*|=|A|^（n-1） 所以这里|A*|=4。这个是很重要的公式一定要记住。
你的计算是错误的。

A*=|A|A^-1，两边取行列式|A*|=||A|A^-1| =|A|^3 X |A|^-1

这里A是三阶的，所以A的逆也是三阶的，你要把|A|提出去必须3次方
当A为n阶放着时，|KA|=K^n|A|

2.（A*)^-1=A/|A|
这里求一下|A|=1*2*5=10，然后你把A的每一个元素都除以10就行了。
（A*)^-1=A/10
3.这题根据答案来讲，A,B不是n阶方阵吧？你是不是写错了。应该是3阶吧？
|A+B|不等于|A|+|B|，所以你不能这样A(A+B)+2E=O,取行列式，即2|A+B|+2=0
要把2E先移过去
A(A+B)=-2E，两边取行列式|A(A+B)|=|-2E|即|A||A+B|=|-2E|
即2x|A+B|=（-2）^3|E|
所以|A+B|=-8/2=-4
你总是忘记这个公式，当A为n阶放着时，|KA|=K^n|A|
那个K是不能随便提出来的。

4.A可不可逆，看A的行列式，行列式为零，A奇异，就不可逆。
你想想，|A|=0，A逆的行列式是1/|A|，分母为0，无意义，所以只要|A|=0，就不可逆。
5.r(A*)只有3种情况。
当r(A)=n时，r(A*)=n
当r(A)=n-1时，r(A*)=1

当r(A)<n-1时，r(A*)=0

所以这题为0.
要证明上面的也很简单。我这里就不证了，你自己想想看，就是利用r（A)的定义。
比如，r（A)=n说明|A|不为0，所以|A*|=|A|^n-1 不为0，A*可逆，所以A*的秩是n
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希望你能帮到你，不懂请随时追问，懂了麻烦即使采纳~O(∩_∩)O谢谢

Answer 2

1. 记住这个公式: |A*| = |A|^(n-1)
2. 由 AA* = |A|E 得(A可逆时) (A*)^-1 = (1/|A|) A
把A的行列式计算出来就行了
3. A(A+B) = -2E
|A||A+B| = |-2E| = (-2)^n .
|A+B| = (-1)^n * 2^(n-1).
A是3阶方阵吧?!

4. 你的例子不对. 平方后行列式不等于0.
可用反证. 若A可逆, 则 A^-1A^2 = A^-10 = 0 得 A=0, 矛盾.

5. 知识点:
若 r(A) = n, 则 r(A*)=n
若 r(A) = n-1, 则 r(A*)=1
若 r(A) <n-1, 则 r(A*) = 0.

PS. 以后不要把这么多问题放在一个提问中, 会把人吓跑的本回答被网友采纳