已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，
已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=90 0 ，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题： （1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。
| 解：（1）∵∠NGM=90 0 ，NG=6，MG=8，， ∴由勾股定理，得NM=10。 当点G在线段AE上时，如图，  此时，GG′=MN=10。 ∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动， ∴t=10秒。 （2）存在。 由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。 ①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。  根据题意，知AP=EN=t， 由△QNE∽△GNM得  ，即 ，∴ 。由△QHE∽△NGM得  ，即 ，∴  。∴  。若AP=AQ，则  ，解得 ，不存在；若AP=PQ，则  ，△＜0，无解，不存在；若AQ=PQ，则  ，无正数解，不存在。②当10＜t≤16时，线段GN的延长线与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。  同上，AP=EN=t， 由△QNE∽△GNM得 ，即 ，∴ 。由△QHE∽△NGM得  ，即 ，∴  。∴  。若AP=AQ，则 ，解得 。若AP=PQ，则 ，△＜0，无解，不存在；若AQ=PQ，则 ，无正数解，不存在。综上所述，存在 ，使△APQ是等腰三角形。（3）S与t的函数关系式为  。 |
| （1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值。 （2）分0＜t≤10和10＜t≤16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三种情况讨论。 （3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积， 由（2）①，EN=t，  ，∴ 。当7＜t≤10时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形QIFE的面积，它等于△NQE的面积减去△NIF的面积。  由（2）①，EN=t， ，∴ 。过点I 作IJ⊥BC于点J， ∵EF=7，EN=t，∴  。由△FJI∽△FBA得  ，即 。由△INJ∽△MNG得  ，即 。二式相加，得 
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