Z=min{X,Y} 和Z=max{X,Y}概率密度公式是什么？

Question

Z=min{X,Y} 和Z=max{X,Y}概率密度公式是什么？ 浙大版的概率密度只写了他们的分布函数公式，但是没有写这两个分布的概率密度公式。
但是例题中确实要求概率密度。搞不清楚那个概率密度是怎么来的。

Answer 1

概率密度函数是针对连续性随机变量而言的，假设对于连续性随机变量X，其分布函数为F(x)，概率密度为f(x)

由定义F(x)=∫[-∞,x] f(y)dy可知F'(x)=f(x)，也就是分布函数的导数等于概率密度函数，所以你只需要在原来求出的分布函数基础上求导即可。
另外，你问的这个问题属于求解随机变量函数的分布问题，它有一个通用的方法，就是先从分布函数入手，再求概率密度。例如
Z的分布函数为F(z)=P(Z<z)=P[max{X,Y}<z]=P(X<z,Y<z)
如果已知(X,Y)的联合分布函数或者联合概率密度，则上式就可以求解了。追问

1-cos2x=2(sin^2)x这是用什么公式化出的，能说下详细过程吗，谢谢。

追答

cos2x=(cosx)²-(sinx)²=1-2(sinx)²
所以1-cos2x=2（sinx）²

追问

谢谢，偶明白了，还有个问题lim(x→0)tanx╱x=1，那么lim(x→0)x/tanx等于多少呢？

追答

也等于1啊，有这么一个定理
如果limf(x)=a且a≠0，则lim [1/f(x)]=1/a

追问

谢谢，原来还有这个定理的，书上没写所以没明白。
还有个问题，ln^10(x)=(lnx)^10 吗 还是等于ln（x^10）
还有高数书上有一题，
(1+2x)^[(1/2x)*x/sinx*6]=e^{6*(x/sinx)*[ln(1+2x)^(1/2x)]} 特别不明白，ln(1+2x)^(1/2x)是怎么出现的

追答

ln^10(x)=(lnx)^10
ln（x^10）=10lnx
利用 x^y=e^ln(x^y)=e^(ylnx)就可以得到你要的那个结论了

Answer 2

如果知道X,Y的联合分布，可以先按照定义求出Z=max（X,Y）的分布函数，然后再求导，得到密度函数。比如若Z=max(X, Y)
F_Z(z)=P(Z<= z)=P(X<= z, Y<= z)=F(z,z), 密度函数再求导

若Z=min(X, Y)
P(Z>=z)=P(X>=z, Y>=z)=1-F(z, \infty)-F(\infty, z)+F(z,z)
P(Z<=z)=1-P(Z>z)=F(z, \infty)+F(\infty, z) - F(z,z)

密度再求导。

Answer 3

Z=min(x,y)表示：Z为x、y中较小的概率
设A=｛x=k，y<=k} ；B={y=k,x<=k}
则P（z=k)=P(A)+P（B）-P（AB）（其中AB表示A与B的并，即｛x=k，y=k｝的情形）
类似的，Z=max(x,y)表示Z为x、y中较大的概率。