证明函数连续性的方法：定义法、零点定理、介值定理、反函数的性质、复合函数的性质。
一、证明函数连续性的方法
1、定义法：首先明确函数连续性的定义，如果对于函数在某一点x0的极限值f(x0)等于该点的函数值f(x0)，则函数在x0点连续。因此，要证明函数在某一点连续，只需证明函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
2、零点定理：如果函数在区间[a,b]上的端点取值为0，且函数在区间[a,b]上单调递增或递减，则函数在区间[a,b]上至少有一个零点。
3、介值定理：如果函数在区间[a,b]上取值有界，且在区间[a,b]内至少有一个数ξ使得函数在区间[a,ξ]和[ξ,b]上的值分别等于0和1，则函数在区间[a,b]上至少有一个零点。
4、反函数的性质：如果函数f(x)与它的反函数f-1(x)同时存在且单调递增或递减，则f(x)在定义域内连续。
5、复合函数的性质：如果两个函数f(x)和g(x)在各自的定义域内连续，则它们的复合函数f(g(x))也在其定义域内连续。
二、函数连续性的定义：
①设函数在点的某一邻域内有定义，如果无论取何值，函数值的改变量都为0，那么就称函数在该点处连续。也就是说，当x趋向于x0时，函数极限值等于函数值。
②设函数在点的某一邻域内有定义，如果存在且等于 ，那么就是函数在该点左连续；如果存在且等于 ，那么就是函数在该点右连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续就是指左连续，在左端点连续就是指右连续。
函数连续性的性质：
1、局部有界性：
若函数f在点x0处连续，则f在某U（x0）内有界。
2、局部保号性：
若函数f在点x0处连续且f(x0) > 0，则对任何正数r < f（x0），存在某U（x0），使得对一切x∈U（x0），有f(x) > r。
3、四则运算：
若函数f和g在点x0处连续，则f±g，f*g，f / g ( g(x0) ≠ 0)都在x0处连续。
4、闭区间上的连续函数的性质：
对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。函数连续性质还表现在它具有极限状态，即函数在某一点处的极限值等于该点处的函数值。