如何证明函数连续

Question

如题所述

Answer 1

证明一个函数连续的方法如下：

1、利用函数的极限：如果在函数x=a的极限下仍等于函数在点x=a时的值，即lim_(x→a)f(x)=f(a)，那么称这个函数在点x=a处连续，也可以说这个函数在开区间(x-δ,x+δ)内连续。

2、利用函数的ε-δ定义：如果对于任何给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得对于所有满足|x-a|<δ的x，都有|f(x)-f(a)|<ε，则称这个函数在点x=a处连续。

这意味着无论在哪个区间内，对于极限接近点a的所有x都有f(x)非常接近f(a)。无论使用哪种证明方式，我们需要确保函数在该点（如果是多元函数则为多个点）的左右两侧符合以上条件，从而证明函数在该点连续。

一、下面是一些使用函数的极限来证明函数的连续性或不连续性的例子

1、证明f(x)=x+3在x=2处连续。证明：lim_(x→2)(x+3)=5，而当x=2时，f(2)=5。因此，在x=2处，函数f(x)=x+3连续。

2、证明f(x)=1/x在x=1处不连续。证明：lim_(x→1)(1/x)=∞，而当x=1时，f(1)=1。由于无限大不等于任何数，因此1/x在x=1处不连续。

二、以下是利用函数的ε-δ定义证明联系下的一个例子

证明f(x)=x^2在x=1处连续。

证明：我们需要证明对于任何给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得对于所有满足|x-1|<δ的x，都有|f(x)-f(1)|<ε。也就是说，我们需要找到一个δ，使得当|x-1|<δ时，有|x^2-1|<ε。

由于函数为多项式，因此我们可以直接用算式求得：|x^2-1|=|(x-1)(x+1)|=|x-1||x+1|我们可以将δ的取值与ε相关联，

从而确定δ≥0的条件：当|x-1|<1，则|f(x)-f(1)|=|x^2-1|=|(x+1)(x-1)|<(|x-1|+2)|x-1|

假设我们希望|f(x)-f(1)|<ε，那么我们可以先控制|x-1|+2<1，所以|x-1|<1/3，进而得出|(x+1)(x-1)|<(1/3+2)(1/3)=7/9。然后我们可以让δ=min{1/3,ε/7}。

于是当|x-1|<δ时，就有：|f(x)-f(1)|<(|x-1|+2)|x-1|<ε因此，f(x)=x^2在x=1处连续。