设f(x)连续，证明：∫0到2πxf(cosx)dx=π∫0到2πf(cosx)dx

如题所述

推荐答案 2012-06-28

∫(0,2π)xf(cosx)dx=π∫(0,2π)f(cosx)dx
证明：设x=2π-t，那么dx=-dt
当x从0到2π时，t从2π到0，
∫(0,2π)xf(cosx)dx
=∫(2π,0)(2π-t)f(cos(2π-t)(-dt)
=2π ∫(0,2π)f(cost)dt- ∫(0,2π)tf(cost)dt
=2π ∫(0,2π)f(cosx)dx - ∫(0,2π)xf(cosx)dx (积分与变量无关）
移项得除以2：
∫(0,2π)xf(cosx)dx=π∫(0,2π)f(cosx)dx

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