之前简单介绍了凸函数的定义，相信大家对凸函数有了简单的认识，但是这是远远不够的，这次通过一些详细的函数讲解来介绍一下部分常见凸函数的特点。
（1） 第一个定义 ：如果X为在实数向量空间的凸集。并且有映射 ，如果 被称为 凸 ，则有 如果F被称为 严格凸 ，那么有：
（2） 第二个定义 ：有映射 ，
（3） 第三个定义 ：若 可微，对
（4） 第四个定义 ： 二阶条件 ，若 二阶可微，则 （这里的大于等于号是表示特征值大于等0，表示矩阵半正定） 。
这四个定义在不同地方均有用处，但在判断函数是否为凸函数时最常用的是第四个。其中 为 Hessian矩阵 ，表示函数的二阶偏导矩阵。
（1） 仿射函数： ,显然，其二阶导函数为 ，所以仿射函数为 凸函数 。
（2） 指数函数： ,显然 ,所以指数函数是 凸函数 。
（3） 幂函数： ,接着求导啊求导~， ， ，显然啦，当 时，幂函数就成为了仿射函数，所以即凸又凹。
（4） 负熵函数： ,还是求导， ,嗯，还是个 严格凸函数 。（也是个非常重要的函数！！）
（5） 极大值函数（重中之重）： 现在来一个比较复杂却非常常见的函数： 这个函数显然是不可导的，那么首先根据定义一来看一下是否为凸函数。取两值 ，构造凸组合的新值 ,发现满足凸函数定义，所以极大值函数时凸函数。但是啊，由于其无法求导，后续处理会出现各种问题。所以，这里有一个解析逼近，就是用一个解析函数去逼近极大值函数。这个函数是这样的 ： 那么来证明一下这个函数也是凸函数吧！这里就要用到凸函数的第四个定义了，轮到Hessian矩阵出场了。对上述函数求二次偏导得到如下关系（ 公式打得累死 ）：
这个式子看上去也很丑，那么定义列向量 ,那么(1)式就变成了 ,函数的Hessian矩阵可以写成 那么大家还记得半正定矩阵如何证明么？就是 成立，那么A则为半正定矩阵。好，那么开始构造！！ 另 ,那么(2)式就变成了: 此式成立，用到的性质为 柯西-施瓦茨不等式 ,所以 函数为凸函数。
（6） 行列式的对数： ，首先说明一下啊，当矩阵X只有一维时，那么原函数则为 ，显然是凹函数。所以我们是在已经知道其为凹函数的前提下证明它是凹函数的了~根据凸函数的第二个定义当 ，构造凸组合的函数 继续化简得到为： 接着只要分析这个式子就可以，求导即可，得到： 到这里证明就结束了，原函数为凹函数得证。
可见啊，分析函数凸性一般都是通过其 矩阵来分析，但是对于部分凸函数的证明也不是简单的，总体的计算过程也在越来越复杂，后面会逐步讲解凸问题的理论与求解。但是在证明的过程中会发现，其理论也是一步一步建立起来的，弄懂了原理之后看问题就会举一反三了。