为什么行列式等于矩阵的行列式？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵积的行列式等于行列式的积，这是矩阵乘积的一个重要性质。

我们需要了解什么是矩阵积。矩阵积是将两个矩阵相乘，得到一个新的矩阵。这个新的矩阵的每个元素都是原来两个矩阵对应元素的乘积。

我们需要了解什么是行列式。行列式是一个数值，它是由一个矩阵的元素按照一定的公式计算得到的。这个数值反映了矩阵的某些性质，例如矩阵的秩、逆矩阵等。

现在我们来解释矩阵积的行列式等于行列式的积这个性质。假设我们有两个矩阵A和B，那么我们可以将它们相乘得到一个新的矩阵C，即C=A*B。那么矩阵C的行列式值就是A的行列式值与B的行列式值的乘积，即det（C）=det（A）*det（B）。

这个性质可以通过矩阵乘法的定义和行列式的计算规则来证明。在矩阵乘法中，两个矩阵相乘得到新的矩阵时，每个元素都是对应位置上的两个元素的乘积之和。因此，当我们计算矩阵C的行列式值时，我们会发现它等于A的行列式值乘以B的行列式值。

矩阵积的行列式计算规则：

1、当两个矩阵相乘时，它们的行列式值的乘积等于它们的行列式的乘积。这个规则可以用来简化行列式的计算过程，因为在计算行列式时，可以先将矩阵分解成较小的子矩阵，然后分别计算子矩阵的行列式值，最后将它们相乘得到最终的行列式值。

2、如果一个矩阵的某一行或某一列包含零元素，那么这个矩阵的行列式值为零。这个规则可以帮助我们判断一个矩阵是否为奇异矩阵，即行列式值为零的矩阵。

3、如果一个矩阵可以通过行变换或列变换转换为阶梯形矩阵，那么这个矩阵的行列式值等于阶梯形矩阵的主对角线元素的乘积。这个规则可以用来快速计算一些特殊形状的矩阵的行列式值，例如三角矩阵、对角矩阵等。