假设向量组1的极大无关组为α1、α2、...αm,向量组2的极大无关组为β1、β2、...βn,又因为向量组1可由向量组2线性表出,则α1、α2、...、αm,可由β1、β2、...、βn,线性表出,假设m>n,
根据定理 向量组A(s个向量)可由向量组B(t个向量)线性表出,且s>t,则向量组A线性相关。则α1、α2、...、αm,线性相关,矛盾,最终可得m<=n,即向量组1的秩小于等于向量组2的秩。
有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩,容易证明行秩等于列秩,所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用,可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理
向量组α1,α2,···,αs线性无关等价于R{α1,α2,···,αs}=s。
若向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则R{α1,α2,···,αs}小于等于R{β1,β2,···,βt}。
等价的向量组具有相等的秩。
若向量组α1,α2,···,αs线性无关,且可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则s小于等于t。
向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,且s>t,则α1,α2,···,αs线性相关。
任意n+1个n维向量线性相关。