求极限过程中，如果有部分能求出具体值a（a不为零），这个时候可以带入a继续求极限吗？

Question

1.之前看过一个答案，在求极限过程中，需要函数连续，才能带入x。这是为什么？为何要求连续
2.在0/0或∞/∞的情况下，不能带入，要先化简再带入或者直接使用洛必达法则，对么？
3.希望您总结一下，何时能带入，何时不能

Answer 1

1、因为只有连续函数，才有极限值=函数值的性质，所以只有连续函数，才能用求函数值（带入x）的方式求极限值。
2、带入，因为如果直接带入，得到的就是0÷0或∞÷∞这样的式子，这样的式子怎么求结果？
3、不连续函数的不能带入（这个在做分段函数的时候，会容易出错），各种未定式，如0/0，∞/∞，0*∞，0的∞次方，∞的0次方，1的∞次方，∞的1次方这些种类的式子，都不能直接带入。追问

追答

你这两道题的做法，都出现一个问题，x的趋近出现了先后，先一部分x趋近到极限点，然后另一部分x再趋近到极限点。这种分先后的趋近是不允许的。极限式子中，所有的x应该是同时趋近的。



追问

首先，谢谢您认真的回答。“同时趋近”这个观点让我有种豁然开朗的感觉。

但如图所示，cos（1/x）用数值1代换，貌似是x提前趋近于极限了。

照这样来说，每个数值的提前带入，都犯了提前趋近极限点的错误。