幂级数问题，如图，求高数大神

Question

为什么t=1的时候是发散的？？求详解？？

Answer 1

这是一个常用结论(可用积分判别法证明):
对于p-级数∑{1 ≤ n} 1/n^p, 当p ≤ 1时发散, p > 1时收敛.
本题在t = 1时就是p = 1/2的p-级数, 因此是发散的.
另外, 当t = -1时, ∑{1 ≤ n} (-1)^n/√n是通项绝对值递减趋于0的交错级数,
根据Leibniz判别法是收敛的.追问

请问我算出来p是1，为什么t=1,p=1/2

追答

首先明确, 讨论的级数是∑{1 ≤ n} t^n/√n,
也就是∑{1 ≤ n} t^n/n^(1/2).
要考虑t = 1时的收敛性, 代入得∑{1 ≤ n} 1/n^(1/2).
比照p-级数的定义∑{1 ≤ n} 1/n^p,
所以这就是p = 1/2的p-级数.
你是怎么算出p = 1的?

至于为什么要讨论t = 1或-1.
是因为已经算出幂级数∑{1 ≤ n} t^n/√n的收敛半径是1,
这保证了级数在|t| 1时发散.
但在端点处需要讨论敛散性.

追问

明白了！真是谢谢了！

Answer 2