既是奇函数又是周期函数，一个周期积分必为零嘛？

Question

既是奇函数又是周期函数，一个周期积分必为零嘛？一个函数是奇函数也是周期函数，他在一个周期内积分为零吗？若是的话麻烦尽量给个证明。感谢

Answer 1

既是奇函数又是周期函数的函数，一个周期积分必为零。

证明：

因为奇函数有性质：f(-x)=-f(x)，设积分区间为-a到a，根据定积分性质有如下图等式。

所以，一个周期积分=（-④）+①=0。

扩展资料：

奇函数的性质：

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

5、当且仅当  （定义域关于原点对称）时，  既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

奇函数的特点：

1、奇函数图象关于原点  对称。

2、奇函数的定义域必须关于原点  对称，否则不能成为奇函数。

3、若  为奇函数，且在x=0处有意义，则  。

4、设  在定义域  上可导，若  在  上为奇函数，则  在  上为偶函数。即  对其求导f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)。

参考资料：百度百科-奇函数

Answer 2

因为奇函数f(-x)=-f(x)
正半周期的积分+负半周期的积分=0追问

有点草率，我也这么考虑的。能不能具体证明一下

追答

设积分区间为-a到a

追问

谢了

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