数学高中不等式

Question

已知a,b,c均为R+,且ab+bc+ac=1.求证,1/(ab)+1/(bc)+1/(ac)>=根号3(1/(根号ab)+1/(根号bc)+1/(根号ac)).在线等~
过程具体点!

Answer 1

a b c∈R+ ab+bc+ac=1
由柯西不等式（柯西不等式可用一元二次多项式恒非负时△<=0得到，
即(a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)x2+2(a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b1^2+b2^2+b3^2+...bn^2)>=0恒成立，由△<=0得到柯西不等式）
(根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab)(根号abc+根号abc+根号abc)>=(根号a+根号b+根号c)^2
因为
由均值不等式之 平方平均>=算术平均>=倒数平均(由展开和柯西不等式可证得两个不等号)，对于正实数x y z ((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3/(1/x+1/y+1/z)
即，1/x+1/y+1/z>=3/((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3根号3/根号(x^2+y^2+z^2)
(根号a+根号b+根号c)/根号abc=1/根号bc+1/根号ac+1/根号ab>=3根号3/根号(ab+bc+ca)=3根号3
所以
根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab>=(根号a+根号b+根号c)^2/(根号abc+根号abc+根号abc)
>=(根号a+根号b+根号c)*3根号3/3
=根号3(根号a+根号b+根号c)
所以原不等式成立

Answer 2

∵a,b,c∈R﹢
∴ab＞0,bc＞0,ca＞0
又∵ab+bc+ca=1
∴(1/ab+1/bc+1/ca)(ab+bc+ca)
=[(√1/ab)²+(√1/bc)²+(√ca)²]·[(√ab)²+(√bc)²+(√ca)²]≥[√1/ab·√ab+√1/bc√bc+√1/ca√ca]²
=(1+1+1)²=9追问

你证的貌似和题目不一样嘛……

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Answer 3

1/(ab)+1/(bc)+1/(ac)乘以ab+bc+ac=1，再用基本不等式