线性代数----- 一个行列式的计算

Question

想计算图片中的那个有理数域上的 n by n 矩阵的行列式. X 是不定元(indeterminate).
请教方法思路.
被人教了个简单的算法. 用 { e_i } 表示 n 维向量空间 Q^n 的标准基 ( Q 是有理数域) ,令 P 为一个 n-by-n 置换矩阵
P = ( e_n , e_1 , .... , e_{n-1} )
则原先的那个矩阵(最上边的那个)可以写作 X· I + P + P' (这里 P' 是转置) .而 P 的特征多项式恰为 X^n - 1 , 从而可具体写出原来的那个矩阵的 n 个特征根
1 + ω ^ j + ω ^ (-j) , 1 ≤ j ≤ n
其中 ω 是复数域中的一个 n 次本原单位根.
我就是想要这个结果,不好意思没有说清楚,

Answer 1

关于an=Xa(n-1)+a(n-2)这样的递推关系，其实更一般地，对于an=Aa(n-1)+Ba(n-2),有一个机械地固定的解法的，就是找出两个数m，n使得m+n=A, mn= -B
这样 an=(m+n)a(n-1)-mna(n-2), 于是 an-ma(n-1)=n[a(n-1)-ma(n-2)]
记 bn=an-ma(n-1). 则 bn=nb(n-1), 由此就可以求出 bn来，再利用 an=ma(n-1)+bn就可以地推出an来了。
所以问题就是如何找到需要的m,n？
而这一点很简单，由维达定理，这就是要求出方程 x^2-Ax+B=0的两个根来。而这个地球人都会的吧！

Answer 2

这个结论很复杂
你看看苏联人 普罗斯库烈柯夫 著的 <<线性代数习题集>> 第369题.
若需电子版请追问.本回答被网友采纳

Answer 3

你的做法正确，继续递归，最后求出D1，D2即可。