x的x次方从0到1的积分用级数怎么做啊，谢谢？

Question

如题所述

Answer 1

当x趋于0时，x的x次方趋于1，可定义x的x次方等于1。
设y=x^x=e^(xlnx)，则：y'=e^(xlnx)(1+lnx)，y'‘=e^(xlnx)(1+lnx+x^(-1))，
y'''=e^(xlnx)(1+lnx+x^(-1)-x^(-2))， y'''’=e^(xlnx)(1+lnx+x^(-1)-x^(-2)+2x^(-3))
一般地：y的n阶导数=e^(xlnx)(1+lnx+x^(-1)-x^(-2)+2!x^(-3)-3!x^(-4)+......+(-1)^n*(n-2)!x^(-n+1))
当x=1时，y=1,y'=1,y''=2,y'''=1,y''''=4,......,y的n阶导数=1+1-1+2!-3!+......+(-1)^n*(n-2)!
所以x^x=1+(x-1)+2(x-1)^2/2!+(x-1)^3/3!+4(x-1)^4/4!+...+(1+1-1+2!-3!+...
+(-1)^n*(n-2)!)(x-1)^n/n!+...........
然后就是积分啦（自己作可以吗？)