看具体情况。
主要考察格林公式的运用：【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有
(1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy
其中是的取正向的边界曲线.
公式(1)叫做格林(green)公式.
【证明】先证
假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)
易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有
因此
再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证
综合有
当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有
同时成立.
将两式合并之后即得格林公式
注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.
格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛.
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