已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x)，且在区间【0,2】上是增函数，则

Question

我想知道这个函数图象是怎么画出来的？如何根据奇偶性、单调性、周期性三者中两者判断剩下的另一者？这种典型题型有什么固定思路啊？

Answer 1

令x=t+2 代入f(x-4)=-f(x)得 f（t+2-4）=-f（t+2）
即f（t-2）=-f（t+2）
又f（x）是奇函数 f（t-2）=-f（2-t）
所以 -f（t+2）=-f（2-t） 即 f（2+t）=f（2-t）（1）式
即直线x=2是f（x）对称轴

接下来画图就可以说明 显然奇函数f（0）=0
也可简单算得 f（-4）=-f（0）=0 f（x）以8为周期 f（-8）=0
f（4）=0 f（8）=0
画图 先画[0,2]一段 可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f（0）=0
再根据x=2是对称轴画[2,4]段
在根据f（x）是奇函数 图像关于原点对称 画[-4,0]那段
再根据x=2是对称轴 画[4,8]段 其和[0,-4]段关于x=2对称
最后根据原点对称画[-8,-4]段

参考以下:
f（x）为奇函数，f（0）=0，
f（x-4）=-f（x），f(4)=0,
f(x-8)=-f（x-4）=f（x），所以f（x）是周期为8的函数，f（8）=0。
在区间【0，2】上是增函数，那么在此区间f(x)>0，根据f（x-4）=-f（x），
在区间【4，8】f(x)<0。

Answer 2

同意上层楼主的观点，f(x-4)=-f(x)则f(x)=-f(x+4),f(x-4)=f(x+4),f(x)=f(x+8),所以周期为8，这是个抽象函数，可以说想怎么画就怎么画，只要符合条件就可以了，奇偶性、单调性、周期性，三者要根据条件看情况而定，反正题目肯定会给你解决办法的

Answer 3

首先f(x-4-4)=-f(x-4)=f(x),可知函数周期为8，半周期为4,又函数在0到2上增，可知该抽象函数是形如sin，周期为8的函数，这类题首先得判断周期，然后结合单调性和特殊点确定图像

Answer 4

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