为何任意一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和?

Question

如题所述

Answer 1

因为函数f（x）一定可以分解为奇函数和偶函数之和。其实可以直接从构造出的两个函数来证明就行了。 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2

设函数y=F（x）

令f（x）=[F（x）+F（-x）]/2,则f（-x）=[F（-x）+F（x）]/2=f（x）

于是f（x）为偶函数

令g（x）=[F（x）-F（-x）]/2,则g（-x）=[F（-x）-F（x）]/2=-g（x）

则g（x）为奇函数

f（x）+g（x）=[F（x）+F（-x）]/2+）[F（x）-F（-x）]/2

=F（x）

于是任意F（x）可表示为偶函数f（x）=[F（x）+F（-x）]/2与奇函数g（x）=[F（x）-F（-x）]/2的和

所以，任意一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和。

扩展资料

函数的奇偶性也就是对任意xEl，若f(-x)=f(x)，即在关于y轴的对称点的函数值相等，则f(x)称为偶函数;若f(-x)= - f(x)，即对称点的函数值正负相反，则f(x)称为奇函数。

在平面直角坐标系中，偶函数的图象对称于y轴，奇函数的图象对称于原点.可导的奇(偶)函数的导函数的奇偶性与原来函数相反。定义在对称区间(或点集)上的任何函数f(x)都可以表示成奇函数φ( x)和偶函数ψ(x)之和。

Answer 2

对任何一个函数f(x),都可以写成f(x)=g(x)+h(x)
其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数

为了证明这一点,我们并不是从一个奇函数和一个偶函数的和如何构成任意函数
而是通过证明任意函数都能分解成g(x)+h(x)来得证得.
正规的证明如下:

证明:
先假设f(x) = g(x) + h(x)是存在的,设为1式
则f(-x) = g(-x) + h(-x),设为2式
奇函数性质:g(x)=-g(-x)
偶函数性质:h(x)=h(-x)

那么分别拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)

由此我们得出结论,对任意的f(x),我们能够构造这么两个函数
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函数
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数
且g(x)+h(x)=f(x)
证毕.

通过这个证明还能够得到如何分解成奇函数和偶函数的方法本回答被网友采纳

Answer 3

Answer 4

另一楼对了

Answer 5

这个证明基于假设的基础上，怎么可能对