可导函数的导函数一定连续吗

Question

如题所述

Answer 1

你的问题应该表述为：在某区间(a,b)上处处可导的函数f(x)，它的导函数f'(x)是否在(a,b)连续？
答案是不一定连续。
有个反例：
函数f(x)：
当x不等于0时,f(x)=x^2*sin(1/x);
当x=0时，f(x)=0.

这个函数在(-∞,+∞)处处可导.

导数是f'(x):
当x不等于0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);
当x=0时，f'(x)=lim{[f(x)-f(0)]/(x-0),x->0}=lim[xsin(1/x),x->0]=0.

lim[f'(x),x->0]不存在，所以在x=0这一点处,f'(0)存在但f'(x)不连续.

Answer 2

不一定，可导函数的导函数表示的是可导函数图像上切线的斜率随可导函数横坐标的变化规律。如果图像上一点的斜率无穷大时，导函数就不存在，而接下来的点斜率又存在，这时导函数又存在了，就有个间断点了，所以不连续。

Answer 3

让我们来证明一下。条件1:f(x)是可导函数。结论a:f'(x)一定连续；结论b:f'(x)不一定连续；结论c:f'(x)一定不连续。

从原始定义出发,f(x)在某一点可导的定义是:f(x)在这一点的左右导数存在且相等。f(x)是可导函数即f(x)在定义域内每一点都可导，即条件1等价于下面的结论1

结论1:f'(x)在定义域内每一点的左右极限存在且相等。

而函数连续的定义是:函数在定义域内每一点的左右极限存在且相等。且等于该点的函数值。

由于并没有其他条件说明f'(x)在定义域内每一点的左右极限一定等于(或者一定不等于)它在该点的值，所以f'(x)不一定满足函数连续的定义。

推理过程概括如下：条件1<==>结论1==>[经过排除法]==>结论b

至于结论a的反例；楼上的f(x)=x^2*sin(1/x)就是一个很好的例
子。结论c的反例：f(x)=x。

Answer 4

不一定连续，举个反例
当x≠0时，f(x)=x^2*sin(1/x)；当x=0时，f(x)=0
f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)
f'(0)=0

但f'(x)在x=0不连续本回答被网友采纳

Answer 5

你的这个问题过于笼统
既没有说定义域，也没有限制函数范围！
不过你的意思应该是“可导函数的导函数在原函数的可导定义域内一定连续吗？”
答案是肯定的。
一楼的回答肯定是错误的，因为x=0不在函数定义域内
二楼同样错误，斜率无穷大的点不存在，因为斜率垂直X轴的那个点就是他所说的斜率无穷大的点，这点明显不可取即不在定义域内！
如果你碰到给了函数表达式的题目，可用定义法证明！
如有不懂，Hi我本回答被提问者采纳