求 函数 y = sin(x/2) + cos(3x) 的周期 ？ 要详细的解题步骤，为了女儿的作业，辛苦也值得。

Question

如题所述

Answer 1

y=sin(x/2)的周期是T1=2∏/(1/2)=4∏
y=cos(3x)的周期是T2=2∏/3

所以，y=sinx/2+cos(3x)的周期是T=4∏/1=4∏。

参考例三：

函数f(x)±g(x)最小正周期的求法
一、定义法
例1求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.
解:∵ ＝｜sinx｜＋｜cosx｜
＝｜－sinx｜＋｜cosx｜
＝｜cos(x＋π/2)｜＋｜sin(x＋π/2)｜
＝｜sin(x＋π/2)｜＋｜cos(x＋π/2)｜
＝f(x+π/2)
对定义域内的每一个x，当x增加到x＋π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.
二、公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T＝2π/｜w｜ ，正余切函数T＝π/｜w｜．
例2求函数y＝cotx－tanx的最小正周期.
解：y＝1/tanx－tanx=(1－tanx^2)/tanx=2*(1－tanx^2)/(2tanx)＝2cot2x
∴T＝π/2
三、最小公倍数法
设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数
例3求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期.
解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝2π／1＝2π.
例4求y＝sin3x＋tan2x/5 的最小正周期.
解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1＝10π.
∴y＝sin3x＋tan2x/5的最小正周期是10π.
四、图象法
例5求y＝｜sinx｜的最小正周期.
解：由y＝｜sinx｜的图象
可知y＝｜sinx｜的周期T＝π.

Answer 2

解析：由周期函数的定义可知：
无论周期f(x)和g(x)如何复合，其复合函数的最小正周期与二者各自的最小正周期的商，是一对互质的正整数；
如果：g1(x)、g2(x)、g3(x)···gn(x)均为周期函数，且各自的最小正周期分别是T1、T2、T3···Tn，
则f(x)的最小正周期T与T1、T2、T3···Tn的商，两两互质。

而不论f(x)=F(g1(x)，g2(x)，g3(x)···gn(x))中的函数对映法则F是何种对映法则；则规律均成立，但n必须是有限的正整数。
即g1(x)、g2(x)、g3(x)···gn(x)可以进行任意的有限次的有理运算，其上述规律依然成立。
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解：y=sin(x/2)+cos(3x)
∵y=sin(x/2)和y=cos(3x)的周期分别是4π和2π/3
∴设该函数的最小正周期是T=aπ，则a/4和a/(2/3)的结果应是互质的整数，
则a=4，4/4=1，4/(2/3)=6，1和6是互质的整数；即T=4π
∴函数y=sin(x/2)+cos(3x)的最小正周期是4π，
其周期就应该是4π的整数倍，即4nπ，n∈Z+

Answer 3

分解为2个函数即可。。。sin(x/2)的最小正周期为4π。。。cos(3x)最小正周期2π/3。。。则2个函数和的函数最小正周期为4π和2π/3的最小公倍数即8π