求解高数的一道曲线积分的题目

Question

需要分别用直角坐标，参数方程，极坐标三种方法做，求大神解答，在线等

Answer 1

首先，我们需要参数化给定的曲线$L$。由于$L$是一个圆周，可以使用极坐标来参数化。

令$r(t)$表示曲线$L$上点的极径，$t$表示极角，则可以表示为$r(t) = 2 + \sin(t)$。

然后，我们需要计算曲线$L$的弧长元素$ds$。曲线$L$的弧长元素可以用弧长微分的方式表示为$ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$。

曲线$L$的参数方程为$x(t) = r(t) \cos(t)$和$y(t) = r(t) \sin(t)$。

对这些参数方程进行微分得到$dx = (2 + \sin(t)) \cos(t) - \sin(t) \cos(t)$和$dy = (2 + \sin(t)) \sin(t) + \sin(t) \cos(t)$。

将$dx$和$dy$代入$ds$的公式中，得到$ds = \sqrt{(2 + \sin(t))^2 + (\sin(t))^2}dt$。

最后，我们可以计算曲线积分$f$。曲线积分$f$沿曲线$L$的曲线方向可以表示为$\int_L f(x, y)ds$。

Answer 2

极坐标的方法如上。

Answer 3