为何不能是充要条件，请举反例证明

Question

如题所述

Answer 1

不是必要条件的例：当x趋向0时 x^2sin(1/x)/sinx是0/0型未定式，极限存在（用sinx~x等价无穷小代换即得）。但求导后分子的导数为2xsin(1/x)-cos(1/x)，分母的导数为cosx，x-->0时分子极限不存在。所以所述条件不是必要条件。追问

分子的极限不存在，极限就不存在吗？

求导后得趋于0,分子趋于0,整个分式的极限也就趋于0,是不是就意味着整个分式的极限就不存在(极限趋于0或无穷都代表极限不存在？)

追答

求导后：分母的极限存在，分子的极限不存在，所以求导后的表达式极限不存在。这个例子说明，即使不满足f'(x)/g'(x)的极限不存在，f(x)/g(x)的极限仍然可能存在。“f'(x)/g'(x)的极限存在“不是“f(x)/g(x)的极限存在“的必要条件。