如何推导球的体积公式

Question

如题所述

Answer 1

设球O半径为R，将球O过直径切均分成2半，先计算半球的体积C。
将半球沿着平行于截面方向分成n份，n趋向于无穷大,得到半径不一，高h=R/n的超薄圆片，这些圆片可以近似为圆柱体，从截面往顶端数，第1个圆柱体的半径r1，由勾股定理(r1)2=R2-(R/n)2(因为表达式不好写，(r1)=半径r1的平方，R2=R的平方）。体积V1=π(r1)2h第2个圆柱体半径(r2)2=R2-(2R/n)2 ,体积V2=π(r2)2h……第n个圆柱体半径(rn)2=R2-(nR/n)2.体积Vn=π(rn)2h计算这n个圆柱体体积之和即为半球体积C
C=V1+V2+V3+……+Vn=πh((r1)2+(r2)2+(r1)2+(r3)2+……+(rn)2）
=π*R/n*((R2-(R/n)2)+(R2-(2R/n)2)+(R2-(3R/n)2)+……+(R2-(nR/n)2))
=π*R/n*(nR2-R2/n2-4R2/n2-9R2/n2-……-n2R2/n2)
=π*R/n*R2*(n-1/n2-4/n2-9/n2-n2/n2)
=π*R3/n*(n-(1/n2)*(1+4+9+……+n2) 这里再用平方和公式合并
=π*R3/n*(n-(1/n2)*n*(n+1)(2n+1)/6
=π*R3*(n-n*(n+1)(2n+1)/(6n3)
=π*R3*(1-(n+1)(2n+1)/(6n2) 分子分母约去n
=π*R3*(6n2-(2n2+3n+1))/(6n2)
=π*R3*(4n2-3n-1))/(6n2)
=π*R3*(4-3/n-1/n2)/6 分子分母约去n2
由于n趋向于无穷大，所以3/n趋向于0,1/n2趋向于0
半球体积C=π*R3*4/6=2/3*π*R3
V=2C=4/3*π*R3