求y"-2y'+y=x²的通解

Question

如题所述

Answer 1

首先这是一个线性非齐次微分方程。并且其右边等号的结构为X^2，故这个线性非齐次微分方程的解的结构为aX^2+bX+c=y,代入求解得a=1,b=4,c=6.而线性非齐次方程的通解为其所对应的线性齐次方程的通解加上这个线性非齐次微分方程特解。由此线性齐次微分方程为
y"-2y'+y=0故其通解为ke^x+txe^x.
则该线性非齐次微分方程的通解为x^2+4x+6+ke^x+txe^x

Answer 2

y''+y'-2y=x^2,
特征方程
r^2+r-2=0,
r=1,
-2,
故设特解
y=ax^2+bx+c,
y'=2ax+b,
y''=2a
代入微分方程
得
2a+2ax+b-2ax^2-2bx-2c=x^2,
则
a=-1/2，
b=a=-1/2，
c=a+b/2=-3/4.
特解
y*=-x^2/2-x/2-3/4.
微分方程的通解是
y=c1e^x+c2e^(-2x)-x^2/2-x/2-3/4.

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示