在微积分中，等价无穷小具体指什么？

Question

如题所述

Answer 1

在微积分中，等价无穷小是指在某个极限过程中，两个无穷小量之间的差异可以忽略不计，因为它们的比值趋近于1。换句话说，当两个无穷小量之间的差异非常微小，可以视为相等时，我们将它们称为等价无穷小。
在微积分中，我们经常使用符号 "dx" 和 "dy" 表示无穷小的增量，它们通常用于描述函数的微小变化。当我们在求导、积分或计算极限时，等价无穷小的概念非常重要。
举个例子，在求导过程中，如果有一个函数 f(x) ，我们想求它在某一点 x0 处的导数。我们可以表示 f(x0 + dx) 和 f(x0) 之间的差异为 df，即 df = f(x0 + dx) - f(x0)。当 dx 趋近于0时，如果 df 与 dx 的比值趋近于某个常数（不为零），则我们可以认为 df 和 dx 是等价无穷小。
数学上用符号 "O(dx^n)" 表示等价无穷小的概念，其中 n 是一个正整数，表示 dx 的阶数。例如，如果 df 和 dx 满足 df = O(dx^2)，那么我们称 df 与 dx 是等价无穷小，因为它们的比值趋近于常数，与 dx^2 的阶数相比，dx 的影响可以忽略不计。
等价无穷小的概念在微积分中为我们提供了一个便捷的方式来计算导数、积分和极限，简化了复杂的计算过程。

Answer 2

在微积分中，等价无穷小是指在某一极限过程中，与给定无穷小具有相同极限的其他无穷小。以下是一些常见的等价无穷小：

1. dX：微分符号表示的无穷小量，与dx具有相同的极限。

2. dt：在时间极限过程中，与dt同阶的无穷小量，如dx、dy、dz等表示微小位移的符号。

3. ε和δ：分别表示极限中的自变量和函数变化的微小增量，通常在极限定义中使用。

4. sinx、tanx和x：当x趋向于零时，这些无穷小量在极限过程中具有相同的极限。

5. x²和x³：当x趋向于零时，这些无穷小量在极限过程中具有相同的极限。

6. ln(1 + x)和x：当x趋向于零时，这两个无穷小量在极限过程中具有相同的极限。

需要注意的是，等价无穷小是相对的概念，即在特定的极限过程中，可以找到与给定无穷小等价的其他无穷小，但在其他极限过程中可能会有所不同。